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Mathématiques et élections, Pierre Crépel

Les modalités électorales dépendent à la fois de considérations scientifiques et d'enjeux politiques. Le tout est entremêlé.

 

Lors d’un débat organisé par l’Académie des sciences, le 7 mars 2017 (donc en pleine préparation de l’élection présidentielle), le mathématicien Rémi Peyre a fait un exposé aussi clair qu’intéressant sur les aspects scientifiques en jeu dans les différentes procédures électorales. Comment exprimer au mieux les opinions ou les jugements collectifs ? Ce domaine fait l’objet de travaux mathématiques (voire économiques ou sociologiques) depuis plusieurs décennies, notamment avec les théories dites de « l’agrégation des préférences » et du « choix social ».

On pourrait croire que, pour une élection non truquée, dans la mesure où tout le monde connaît les règles du jeu à l’avance, les conditions d’égalité et de justice sont a priori remplies. Ce n’est pas vraiment le cas : l’élection présidentielle vient de nous le rappeler.

 

Description de quelques modalités d’élections

D’abord s’agit-il d’élire une seule personne (un président de la République, de club sportif, etc.) ou de donner un classement (trois consuls avec ordre, des jugements au patinage artistique) ? S’il n’y a que deux candidats, le problème est assez simple, pour un vote direct avec un seul collège, mais les élections américaines (par État) montrent des pièges cachés : Trump a été élu avec moins de voix que Clinton. Dès qu’il y a au moins trois candidats, cela se corse vite.

Sur le site suivant, on trouvera un exemple où, pour une élection à six candidats, six systèmes électoraux, tous a priori raisonnables, donnent six vainqueurs différents :

https://www.youtube.com/watch?v=vfTJ4vmIsO4

Voici quelques exemples de procédures.

La règle de la majorité simple à un seul tour. Imaginons seulement trois candidats : A (très à droite), B (assez à gauche) et C (franchement à gauche), et le résultat suivant : A = 34%, B = 33%, C = 33%. Tout le monde voit bien que la majorité est à gauche et que le vainqueur est à droite. Pris au piège une fois, le corps électoral va ensuite tenter de ruser et par exemple de voter « utile », c’est-à-dire contre son opinion profonde, pour parer aux défauts de la méthode. Déjà se pose la question de savoir si on choisit le préféré ou le moins détesté.

Le scrutin de la présidentielle en France. Dans la mesure où seuls les deux premiers arrivent au second tour, cela pousse de fait à effectuer le second tour avant le premier, à voter « utile », à privilégier la tactique, pompeusement nommée stratégie. On vient de voir, avec l’élection du 23 avril, que, lorsqu’il y a quatre candidats environ à 20 %, cela peut aussi tourner en grande partie à la loterie, au poker et aux coups bas. La procédure est extrêmement sensible aux petites variations, aux éventuelles candidatures de diversion qui peuvent prendre 1 ou 2 % à tel candidat et le faire basculer dans les perdants, etc.

Jusqu’ici, chaque électeur n’indiquait qu’un nom. Qu’adviendrait-il s’il devait donner en outre son ordre de préférence ? Comment pourrait-on alors en tenir compte, soit pour désigner un vainqueur, soit pour obtenir un classement, représentatif de l’opinion collective ?

La méthode de Borda. Prenons le cas le plus simple : trois candidats A, B, C. Chaque électeur indique son classement, on donne 3 points au 1er, 2 points au 2e, 1 point au 3e. Et on additionne les scores des divers candidats. Celui qui a le plus de points est le vainqueur ou la médaille d’or, ensuite celui qui a le deuxième total obtient la médaille d’argent, etc. Ce système est très utilisé, souvent sous forme de variantes, dites « avec poids ». Par exemple, on peut donner une surcote au premier, avec 4 ou 5 points au lieu de 3. C’est typiquement le classement du « maillot vert » au Tour de France, le règlement est un peu compliqué, mais simplifions-le en en gardant l’esprit : pour chaque étape : 30 points au 1er, 20 au 2e, 17 au 3e, etc., puis rien du tout à partir du 16e ; et, au bout des vingt et une étapes, celui qui a le plus de points remporte le maillot vert. Mais on peut utiliser d’autres poids, c’est le cas du « classement général » qui détermine le « maillot jaune » et le podium : là, les poids proviennent des temps de parcours : pour chaque coureur, on ajoute les temps mis à chaque étape et le classement général est fourni par l’ordre (croissant) des totaux. Deux classements de Borda, avec des poids différents, conduisent donc à des résultats différents : le premier avantage les sprinteurs, le second les coureurs complets (rouleurs et grimpeurs). Déjà, on remarque, sur cet exemple politiquement peu stressant, que telle ou telle variante de méthode peut avantager a priori tel ou tel type de candidat. Mais la méthode de Borda a de nombreux autres défauts. Elle est, notamment, très sensible à la sincérité ou non de l’électeur : pour désigner un vainqueur (auquel il tient), il peut placer en premier son favori, puis dans les positions suivantes des candidats de diversion non dangereux et mettre tout au bout des candidats qu’il supporterait mais qu’il croit concurrents sérieux de son poulain.

La méthode de Condorcet. Savant universel des Lumières, comme Borda, il a abordé de façon théorique, mathématique, mais aussi pratique, l’ensemble des problèmes de jugements, de votes, d’expressions de la démocratie. Exposons brièvement, sur l’exemple de trois candidats A, B, C, la méthode qu’il estime la plus conforme à la raison. Chaque électeur (ou juge) indique son classement, c’est-à-dire un système de trois comparaisons deux à deux : entre A et B, entre B et C, entre C et A (il n’a évidemment pas le droit de dire qu’il préfère A à B, B à C et aussi C à A : jugement cyclique incohérent). Ensuite, on dépouille les comparaisons de tous les électeurs, séparément entre A et B, entre B et C, entre C et A. Malheureusement, le résultat (en d’autres termes l’opinion collective du groupe) peut être « cyclique », déboucher sur l’incohérence interdite à chaque individu. Cependant, même dans ce cas, Condorcet dégage une méthode de dépouillement qui fournit un vainqueur et un classement, qui échappe à la plupart des défauts précédents, mais dont le dépouillement est souvent compliqué, voire impraticable.

 

Quelle méthode représente « le mieux » l’opinion ?

Il existe d’autres procédures qui ont toutes leurs avantages et leurs inconvénients, à divers points de vue : représentativité de l’opinion générale, sensibilité à la sincérité, aux hasards, pratique de l’exécution, etc. Certaines sont visiblement meilleures que d’autres, en tout cas pour le bon sens. On pourra notamment consulter

https://www.youtube.com/watch?v=ZoGH7d51bvc

ou le site « Images des mathématiques » :

http://images.math.cnrs.fr/Mathematiques-electorales.html

Mais y en a-t-il « une » meilleure ? Tout dépend si on se place d’un point de vue mathématique sur la base de tel ou tel critère, ou si l’on parle au sens plus vague de la vie courante ou de la politique.

 

Un détour par Condorcet

Au XVIIIe siècle, et même pendant la Révolution, on n’avait pas vraiment de « partis ». Certains acteurs (tel Condorcet) concevaient la société comme en harmonie, les classes sociales comme complémentaires, au moins si l’on avait de bonnes lois ; d’autres comprenaient mieux les antagonismes, mais ne les exprimaient pas par des partis, écrans entre le peuple et le gouvernement. Le combat était plus souvent (mais pas toujours) moral, institutionnel, qu’économique et social. Pour Condorcet (comme pour Turgot), la politique était une variante de la recherche scientifique, il existait une vérité (unique) sur toute matière politique, mais elle était cachée par la superstition ou, du moins, l’insuffisante avancée des connaissances. Il décomposait les problèmes en éléments simples susceptibles seulement de « oui » ou de « non », comme dans les référendums. Pour chaque question, l’électeur avait donc une probabilité (entre 0 et 100 %) de se prononcer pour la vérité (l’autre option étant l’erreur). Condorcet utilisait un théorème mathématique (plus tard appelé « théorème du jury »), qui peut s’énoncer ainsi : si chaque électeur a une probabilité supérieure à 50 % (même de peu) de dire la vérité et si chacun vote de façon indépendante, alors un groupe a davantage de chances qu’un individu de donner le vrai ; donc la démocratie est efficace en vue d’une bonne politique. On voit bien le caractère fondamental de l’instruction publique : si c’est la probabilité de l’erreur qui passe au-dessus de 50 %, on a le résultat inverse, c’est la catastrophe.

La démocratie reposait donc sur un bon mode d’élection et sur l’instruction publique. Condorcet, conscient des difficultés pratiques de son système électoral idéal, en a proposé de nombreux autres, pendant la Révolution, censés respecter les objectifs essentiels, sinon tous, dans telle ou telle circonstance. Par exemple, si l’on élit un député dans une circonscription (sur 500), il n’est pas bien grave que ce ne soit pas tout à fait le meilleur, si du moins il est très bon ; alors que, si l’on élit un président, là il faut maximiser la probabilité que ce soit le meilleur...

 

Retour à la politique d’aujourd’hui

Même à l’époque, cette façon de voir se heurtait à la réalité concrète de ce qu’est la politique. Au XIXe siècle a monté l’idée qu’il existe des classes avec des intérêts fondamentalement différents et qu’elles sont (plus ou moins) représentées par des partis développant des options cohérentes diverses. Ainsi, existe-t-il plusieurs systèmes respectables organisant différemment la société. Une élection doit alors permettre à ces différentes options d’être représentées, de préférence équitablement. On comprend pourquoi, un système d’élection « à la proportionnelle » (à l’évidence le plus juste), en vue d’un régime parlementaire, était totalement hors épure, même pas imaginable, il y a un peu plus de deux siècles.

D’autre part, est-il souhaitable (comme le croyait Condorcet) que chaque électeur se détermine de façon isolée ? Le débat public, cartes sur tables, ne peut-il pas permettre à chacun d’évoluer en fonction des arguments des autres, y compris de certains de ses adversaires ?

Une dernière remarque s’impose. Qui décide des modalités d’élection ? Pas l’Académie des sciences ni des mathématiciens, c’est le pouvoir précédent en place, en fonction des intérêts qu’il défend, des traditions du pays et du rapport de forces. Donc, au-delà même du charcutage des circonscriptions, ce n’est jamais une simple question neutre entre gens de bonne foi, c’est politique, économique, social, idéologique. Une des raisons pour lesquelles une réflexion approfondie sur la VIe République est nécessaire... Étudier, de façon critique, les penseurs de la démocratie depuis plusieurs millénaires n’est pas alors hors de propos.

 

*Pierre Crépel est responsable de la rubrique Sciences.

La Revue du projet, n°68 juin 2017

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